二次不等式の解き方｜グラフで範囲を判断する

はじめに

二次不等式でつまずきやすいのは、因数分解そのものよりも「どの範囲を答えればよいか」の判断です。

たとえば、\( x^2-3x+2>0 \) を見たときに、\( x<1,\ 2<x \) と答えるのか、\( 1<x<2 \) と答えるのかで迷うことがあります。

二次不等式は、二次関数のグラフの正負を見る問題です。つまり、式の値が正になる部分、または負になる部分を、グラフと \( x \) 軸の位置関係から読み取ります。

この記事では、二次不等式をグラフで考え、範囲と端点を正確に判断する方法を整理します。

二次不等式はグラフで考えると範囲を判断しやすい

二次不等式とは、\( ax^2+bx+c>0 \)、\( ax^2+bx+c<0 \)、\( ax^2+bx+c\geqq 0 \)、\( ax^2+bx+c\leqq 0 \) のように、二次式を含む不等式です。ただし、\( a\neq 0 \) です。

二次不等式を解くときは、二次関数 \( y=ax^2+bx+c \) のグラフを考えます。

重要なのは、次の対応です。

つまり、\( y>0 \) はグラフが \( x \) 軸より上、\( y<0 \) はグラフが \( x \) 軸より下、という意味です。

二次不等式で二次方程式 \( ax^2+bx+c=0 \) を解く理由は、グラフと \( x \) 軸の交点を求めるためです。

\( x \) 軸上では \( y=0 \) です。したがって、\( ax^2+bx+c=0 \) の解は、グラフが \( x \) 軸と交わる \( x \) の値を表します。

この交点は、グラフが \( x \) 軸より上にある部分と下にある部分の境界です。つまり、正負が切り替わる場所を調べるために、二次方程式を解きます。

二次関数のグラフそのものに不安がある場合は、先に 二次関数のグラフの書き方 を確認すると理解しやすくなります。

二次不等式を解くための3つの基本ステップ

二次不等式は、次の3つの手順で考えます。

ステップ1：右辺を \( 0 \) にそろえる

まず、不等式を \( ax^2+bx+c>0 \) や \( ax^2+bx+c<0 \) のように、右辺が \( 0 \) の形に整理します。

右辺が \( 0 \) でない場合は、すべて左辺に移項します。

ステップ2：二次方程式として解き、交点を求める

次に、\( ax^2+bx+c=0 \) を解きます。

これは、グラフと \( x \) 軸の交点を求める作業です。因数分解できる場合は、因数分解で解きます。因数分解できない場合は、解の公式や平方完成を使うことがあります。

平方完成の考え方を確認したい場合は、平方完成のやり方 も参考になります。

ステップ3：グラフを描いて「上か下か」を判断する

交点を求めたら、簡易的な放物線を描いて、グラフが \( x \) 軸より上にある範囲と下にある範囲を判断します。

初学者向けには、\( x^2 \) の係数を正にして、下に凸のグラフとして考える方法が安定します。

ただし、これは「必ず \( x^2 \) の係数を正にしなければならない」という意味ではありません。上に凸のグラフのまま解く方法もあります。最初の段階では、下に凸で考えた方が、外側・内側の判断を間違えにくいということです。

下に凸で、\( x \) 軸との交点が \( \alpha,\ \beta \) で、\( \alpha<\beta \) の場合、位置関係は次のようになります。

したがって、下に凸で2つの交点がある場合は、次のように判断できます。

ここでいう「外側」「内側」は、下に凸で2つの交点がある場合の見方です。

また、不等号の等号の有無にも注意します。

\( > \) や \( < \) の場合、交点では \( y=0 \) なので端点を含みません。

一方、\( \geqq \) や \( \leqq \) の場合は、\( y=0 \) も条件に入るため、端点を含みます。

【基礎例題】因数分解できる二次不等式を解いてみよう

例題1：\( x^2-3x+2>0 \)

次の二次不等式を解きなさい。

この問題では、左辺を \( y=x^2-3x+2 \) と見ます。

\( x^2-3x+2>0 \) は、グラフが \( x \) 軸より上にある範囲、つまり \( y>0 \) となる \( x \) の範囲を求める問題です。

まず、\( y=0 \) となる点を求めるために、\( x^2-3x+2=0 \) を解きます。

因数分解すると、\( x^2-3x+2=(x-1)(x-2) \) です。

したがって、\( (x-1)(x-2)=0 \) より、\( x=1,\ 2 \) です。

グラフ \( y=x^2-3x+2 \) は、\( x=1 \) と \( x=2 \) で \( x \) 軸と交わります。

\( x^2 \) の係数は正なので、グラフは下に凸です。下に凸のグラフは、2つの交点の外側で \( x \) 軸より上、2つの交点の内側で \( x \) 軸より下になります。

求めるのは \( x^2-3x+2>0 \) となる範囲です。つまり、グラフが \( x \) 軸より上にある範囲を選びます。

よって、答えは

です。

元の不等号は \( > \) です。\( x=1 \) や \( x=2 \) では左辺が \( 0 \) になるため、条件を満たしません。

したがって、端点 \( 1,\ 2 \) は含めません。

例題2：\( x^2-x-6\leqq 0 \)

次の二次不等式を解きなさい。

この問題では、\( y=x^2-x-6 \) と考えます。

不等号が \( \leqq 0 \) なので、グラフが \( x \) 軸より下にある部分と、\( x \) 軸上にある部分を求めます。

まず、境界となる交点を求めるために、\( x^2-x-6=0 \) を解きます。

因数分解すると、\( x^2-x-6=(x-3)(x+2) \) です。

したがって、\( (x-3)(x+2)=0 \) より、\( x=3,\ -2 \) です。小さい順に並べると、\( x=-2,\ 3 \) です。

グラフ \( y=x^2-x-6 \) は、\( x=-2 \) と \( x=3 \) で \( x \) 軸と交わります。ここで、簡易的な下に凸の放物線を描いてみましょう。下に凸のグラフでは、2つの交点の内側で \( x \) 軸より下になります。

求めるのは \( x^2-x-6\leqq 0 \) となる範囲です。

つまり、グラフが \( x \) 軸より下にある部分に加えて、\( x \) 軸上にある点も含めます。

よって、答えは

です。

元の不等号は \( \leqq \) です。したがって、左辺が \( 0 \) になる \( x=-2,\ 3 \) も条件を満たします。

そのため、端点を含めて \( -2\leqq x\leqq 3 \) と書きます。

【標準例題】注意が必要な二次不等式

例題3：\( -x^2+4x-3>0 \)

次の二次不等式を解きなさい。

この問題は、\( x^2 \) の係数が負です。

上に凸のグラフのまま考えることもできますが、初学者は下に凸の形に直すと判断が安定します。

両辺に \( -1 \) をかけます。このとき、不等号の向きが変わることに注意します。

の両辺に \( -1 \) をかけると、

です。

つまり、\( x^2-4x+3<0 \) を解けばよいことになります。

まず、因数分解すると、\( x^2-4x+3=(x-1)(x-3) \) です。

したがって、\( (x-1)(x-3)=0 \) より、\( x=1,\ 3 \) です。

グラフ \( y=x^2-4x+3 \) は、\( x=1 \) と \( x=3 \) で \( x \) 軸と交わります。

\( x^2 \) の係数は正なので、グラフは下に凸です。求める不等式は \( x^2-4x+3<0 \) なので、グラフが \( x \) 軸より下にある範囲を選びます。

よって、答えは

です。

元の不等式 \( -x^2+4x-3>0 \) と、変形後の不等式 \( x^2-4x+3<0 \) は同値です。

たとえば \( x=2 \) のとき、元の式に代入すると、\( -(2)^2+4\cdot 2-3=-4+8-3=1 \) となり、\( 1>0 \) なので条件を満たします。

また、\( x=1,\ 3 \) では左辺が \( 0 \) になります。元の不等号は \( > \) なので、端点は含めません。

二次不等式でよくあるミス

ミス1：外側と内側を逆にする

たとえば、\( x^2-3x+2>0 \) の答えを \( 1<x<2 \) としてしまうミスです。

正しくは、\( x<1,\ 2<x \) です。

このミスは、「\( > \) だから内側」「\( < \) だから外側」のように、不等号だけを見て判断すると起こります。

二次不等式は、不等号の向きだけで答えが決まるわけではありません。グラフが下に凸なのか上に凸なのか、交点がどこにあるのかを合わせて判断します。

下に凸で2つの交点がある場合は、\( y>0 \) ならグラフが \( x \) 軸より上なので外側、\( y<0 \) ならグラフが \( x \) 軸より下なので内側です。

ミス2：端点を含めるかどうかを間違える

たとえば、\( x^2-x-6\leqq 0 \) の答えを \( -2<x<3 \) としてしまうミスです。

正しくは、\( -2\leqq x\leqq 3 \) です。

\( x=-2,\ 3 \) では左辺が \( 0 \) になります。\( \leqq 0 \) なら \( 0 \) も含まれるので端点を含みますが、\( <0 \) なら \( 0 \) は含まれないので端点を含みません。

答えを書く直前に、元の不等号を確認します。

端点は、グラフと \( x \) 軸の交点です。交点では \( y=0 \) なので、等号があるかどうかが端点の扱いに関係します。

ミス3：\( x^2 \) の係数が負のまま、下に凸の判断を使う

たとえば、\( -x^2+4x-3>0 \) を見て、下に凸のときの感覚で外側を答えてしまうミスです。

\( x^2 \) の係数が負のとき、グラフは上に凸になります。上に凸のグラフでは、\( x \) 軸より上になる範囲が下に凸の場合と変わります。

初学者は、まず \( x^2 \) の係数を正にしてから考えると安定します。

\( -x^2+4x-3>0 \) なら、両辺に \( -1 \) をかけて \( x^2-4x+3<0 \) とします。

このとき、不等号の向きが \( > \) から \( < \) に変わる点を必ず確認してください。

ミス4：二次方程式を解く意味を忘れる

二次方程式 \( ax^2+bx+c=0 \) を解く目的は、正負が切り替わる境界を見つけることです。

交点を求めたあとに、次の2点を確認します。

• グラフは下に凸か、上に凸か
• 求めるのは \( y>0 \) か、\( y<0 \) か

この確認を入れることで、範囲の選び間違いを減らせます。

MathGrAIlのAI演習で二次不等式を練習しよう

二次不等式は、説明を読んだだけでは安定しにくい単元です。特に、次の3種類は演習で確認する必要があります。

1. 因数分解できる二次不等式
2. \( \geqq,\ \leqq \) を含む端点ありの二次不等式
3. \( x^2 \) の係数が負で、不等号の向きを変える二次不等式

演習の順番としては、まず \( x^2 \) の係数が正で、因数分解しやすい問題から始めるのがよいです。

次に、\( \geqq \) や \( \leqq \) を含む問題で、端点を含めるかどうかを確認します。

最後に、\( x^2 \) の係数が負の問題を解き、両辺に \( -1 \) をかけたときに不等号の向きが変わる処理を練習します。

MathGrAIlのAI演習では、答えが合っているかだけでなく、どの段階で判断を誤ったかを確認できます。交点の計算ミス、外側・内側の判断ミス、端点の含め忘れなどを、演習後に見直しやすくなります。

MathGrAIlで二次不等式を演習する

まとめ

二次不等式は、二次関数のグラフの正負を見る問題です。

重要な対応は次の通りです。

二次方程式 \( ax^2+bx+c=0 \) を解くのは、グラフと \( x \) 軸の交点、つまり正負が切り替わる境界を求めるためです。

下に凸で2つの交点がある場合は、\( y>0 \) なら外側、\( y<0 \) なら内側を選びます。ただし、\( > \) や \( < \) では端点を含まず、\( \geqq \) や \( \leqq \) では端点を含みます。

\( x^2 \) の係数が負の場合は、両辺に \( -1 \) をかけて係数を正にすると考えやすくなります。その際、不等号の向きが変わる点に注意してください。

二次不等式の次の学習としては、二次関数のグラフ全体の扱いを復習するのも有効です。グラフの形に不安がある場合は 二次関数のグラフの書き方、頂点や平方完成に不安がある場合は 平方完成のやり方 を確認してください。また、グラフを使う別の重要テーマとして 二次関数の最大値・最小値の求め方 も関連します。